東京工業大学 ロボット技術研究会

これはrogy Advent Calendar 14日目の記事です．

機械系の記事が少ないので機構系の話を書いていきますぞ．

どーも．今年NHKロボコンチームMaquinistaを定年退職しましたおにぎりです，

現在は卒論研究をしながらきままに卒論研究する毎日を送っています．

1. 前置き

僕は2年前，工大祭やMakerFaireTokyoなどで非円形歯車を展示していました．非円形歯車とは，名前の通り「丸くない歯車」です．丸くなくても設計次第では回るんです．不思議ですよね．現在，少しデザインを変えてものつくりセンターの入り口にて展示させて頂いてます．

そこで先日，この展示を見て頂いた東工大天文部の後輩K君という子が僕を訪ねてきました．話によると，どうやら来年の工大祭に向けてある出し物を製作中だそうで，その一部に非円形歯車を用いたいとのこと．それも，「仕様通りの角速度比で伝達」したい，という相談でして，僕の以前使っていたソフトを使う場合は有料版（高い）を買わねばできません，さて困った．うーん，手軽なソフトだけでなんとかできないかな……ん？そうだこれだ！

Matlabさんがいるじゃないか！！！！

※東工大生にとっては無料でインストールできる手軽なソフトです

 さて，ここからが本編です，
そんなこんなで，Matlabを用いて，一度は挫折した完全自作の非円形歯車製作をしましょう，という風になりました．（全くもってMatlabである必要はない．ほんとにただそこにあったから．）
第2，3項ではこの設計手法を簡単にかいていきます． 

注意事項
～読むのが面倒な方へ～

　2，3項はできるだけ分かりやすくかつ必要最低限のことを書いているつもりですが，やや専門的で長い説明になってしまっているので，作った結果だけ知りたいという人は飛ばして次の記事の結果編だけ見てくださっても構わないです．

～しっかり読んでくださる方へ～

一部怪しいこと書いてるので，正しい表現とは限りません．また，そういった表現をもし見つけたらこっそりコメントで教えてください．

～専門の方へ～

　許してください．

 

2. 非円形摩擦車の作成

まずは歯のついていない，非円形摩擦車を考えていきます．つまり，つねに転がり接触をする２つの曲線を作ろうというわけです．転がり接触点の定義（？）を簡単に表すと，

①運動中，その点で物体同士が接触している

②運動中，それぞれの物体上でのその点の速度が一致している

の２つです．

２つの曲線がそれぞれ$\phi_1$,$\phi_2$だけ回転中心$O_1$,$O_2$（すなわち回転軸）で回った時の，接触点における転がり半径を$r_1$,$r_2$とします．また，その回転中心間の距離（軸間距離）を$a$とします．このとき，条件②を満たすように，接触点の速度方向を一致させるには図１のように接触点は２つの回転中心を通る直線上になければなりません．今後，図の左にある歯車を駆動側，右にある歯車を従動側とします．すなわち，左から右に動力を伝達しているとします．

図1  非円形摩擦車の転がり接触点

すると，条件①より，
$r_1+r_2=a \tag1$
となります．また，条件②より，それぞれの点での速さ$\upsilon_1$,$\upsilon_2$も一致するので

$\upsilon_1=\upsilon_2 \tag2$

となります．ここで，$\upsilon_1$,$\upsilon_2$はそれぞれ，

$\upsilon_1=\frac{d\phi_1}{dt}r_1 \tag3$
$\upsilon_2=\frac{d\phi_2}{dt}r_1 \tag4$
で表されるので，式(2)～(4)より，
$\frac{d\phi_2}{d\phi_1}=\frac{r_1}{r_2} \tag5$

であると分かります．すなわち，２つの物体の転がり運動の角速度比はその時のころがり半径比である，ということになります．（言われりゃ当たり前だよね）

　あとは設計関数である$d\phi_2/d\phi_1$(以下$f(\phi_1)$)と軸間距離$a$を決めてあげることで式(1)(4)より極座標として摩擦車の外形形状が次のように決まります．

$\int_{0}^{2\pi}f(\phi_1)d\phi_1=2\pi \tag8$

これは，例えば設計関数を式(8)を満たすように定数倍してあげることで解決しますね．

てなわけでこれをMatlabで実装してみました．プログラミングなんてほとんどしない僕はこれだけでも少々手こずりました．

例えば軸間距離を50mm，設計関数を
$f(\phi_1)=1+\frac{\sin 4\phi_1}{4} \tag9$ 

図2 与えた角速度比曲線

図3 出力された非円形摩擦車

 
うん．それっぽい．

しかし，このままでは摩擦による動力伝達なので，途中ですべってしまうとうまく接触しなくなる可能性がありますね．というわけでここに歯をつけていきましょう．

3. 摩擦車に歯をつける

　はい，ここからが僕の知っている限りオリジナリティのある方法です．２年前はここで挫折しました．

注意事項2
 ここまではほぼただの転がり接触理論の話で，解析的に正しい方法でしたが，ここから下は僕が考えた「怪しい方法」です．レーザー加工機での加工を前提としているので，「この加工精度ならバックラッシは多少あっても引っかかりはなしに動くっしょww」というノリです．接触理論をまじめに考えているわけではないです．ご了承ください．

3.1. 歯の位置と向き
　先ほど作った摩擦車の外形を製作する非円形歯車のピッチ曲線とします．ピッチ曲線とは，歯車同士のかみ合い点をつないだ曲線で，円形歯車ではピッチ円と呼ばれるものです．まずはこのピッチ曲線を，決められた歯数zだけ等分割する点を求めます．ここに歯を置いていくわけです．まずは左の駆動側の歯車において，この等分割する反時計周りで$k$番目の点の座標を$\boldsymbol{P_{z1}} [k]$  $(k=1,2,⋯z)$とします．この点に歯を生やすわけですが，生やす向きが重要です．かみ合い点において，２つの歯車のピッチ曲線は常に接線が共通であるため，ここではピッチ曲線の法線方向に歯を生やすことにします．てなわけで数値微分を行って歯の向きの座標変換用に接線単位ベクトル$\boldsymbol{t_1} [k]$と法線単位ベクトル$\boldsymbol{n_1} [k]$を数値計算で求めます．従動歯車においても同様です．これで，歯を置く位置と向きが決まります（図4参照）．

図4 歯を配置する位置と向き

　図5 出力されたピッチ曲線上に配置する歯の位置と向き

3.2. 歯の形

図6 曲率半径$R$

図7 曲率半径によって変わる歯形の様子

図8 元のピッチ曲線（一点鎖線）と出力された非円形歯車（実線）

おぉ！良い！良いぞぉ！

使用が認められない理由

　作業者がケガをしたり，工作機械を壊してしまったときに，責任を取れる人がいないといけない，という至極まっとうな理由でした．ものつくりセンターにはお世話になっていますし，尊敬しています．この判断が間違っているとはまったく思えません．ただ，ガッカリ．

以上が前置きで 

出来る男は第二第三の手段(逃げ道ともいう)を持っておくものです．今回やりたかったのは年賀状とロボットを金ぴかに！　でした．よって以下記事タイトルを変えます．

どうやったら紙やアルミニウムに金ぴかな表面皮膜を作れるか？

答え

東急ハンズでポイポイ買ってきました

　こちらは吉田金糸店のスタンピングリーフというもので，上からアイロンをかけると下に金ぴかが移るよ！　というものです．金膜を移せる場所はレーザープリンタで印刷したところ，あるいは糊付けされたところだけです(簡易版シルクスクリーンみたいなもの)．糊(普段は乾燥している)層，金膜層，フィルムのような構造になっています．詳しいやり方は公式にお願いするとして，指示に従って進めていきます．レーザープリンタは安心と信頼，セブンイレブン・マルチコピー機で行いました． とりあえず紙に転写してみましょう．


 ひとりぼっちの地球侵略を個人的に応援しています

なかなか綺麗に印刷できました．じゃあ今度は年賀状でやってみましょう．まあ失敗する余地はありませんがね．セブンイレブン・マルチコピー機を用いて，

こちらの住所は大学の住所であり，部室まで届く保証はありません

この文字を金ぴかにしてやりますぞい……ほいっ！

 転写失敗？　文字がボケている？

失敗しました ．原因は今のところ謎です．実はハガキ印刷だけはインクジェットだったとか？　加熱時間が長すぎたとか？　ハガキの紙質が悪いとか？(吉田金糸店ではサンプル例にハガキがあるので，多分自分のミス)

 まあ，まあ……．別に年賀状が金ぴかでも，送る相手がいませんから．年末の忙しい時期，あまり考察している時間はありません．次に進みましょう．

スタンピングリーフを紙以外に転写する

 スタンピングリーフをこうやって利用すると，転写しなかった部分はシートが残ります．こちらを使えばプリンターを使えないところにも印刷ができます．これでアルミニウムの板に金膜を貼ってみましょう．

ちょっとしわくちゃになっちゃっているけど

これの裏に金膜接着用のスプレーを付着させ，アイロンで温め，フィルムをはがせばいいんです．ただ手元の密着スプレー(SOMAY-Qのミッチャクロンマルチクリヤー)では全然くっつかない(そもそもそういう用途ではない)ので，今回は普通のスティックのりを使いました．目標となるロボットの前に，紙に刷ってみると

割と綺麗っぽい．が，スティックのりが焦げるので対策が必要かな

本命のアルミに刷ってみましょう(表面は磨いたりは一切していません)．
 
おおおん……

失敗

 

ではあるものの

　いくらかこれには対応があります．一つは糊層，金膜層，フィルムとある内，フィルムをはがす工程を省く，ということです．

まあ綺麗

 あるいは透明なレーザープリンタ対応のシールに印刷して貼り付ける，トナー・アイロン法でトナーをアルミ板に張り付ける(こちらより．スチームパンク大百科Sは小物作りのDIYで非常に参考にしています．)等が行えます．それともスタンピングリーフをやめて，カッティングマシン(手前味噌な記事ですが)を使うとか，アルマイトとか．アルマイトはマスキングが難しいですが．

　ただ，いずれの方法にせよ，密着力はあまり強くありません．金属の表面にがっちり皮膜をつけることの難しさを実感しました．

なんだそのオチ

　長々とした記事になりましたが，いい感じの結論はまだでていません．自分はロボワン(1~5kgの二足歩行ロボットの格闘技)をやっていて，その装飾に使える技術を手に入れたいのですが……．

とは言え，せっかくここまで読んでくれた方にはせめて有益な情報をお伝えしたい……！　今回のアレコレで得られた知見が一つあります．では皆さん，まずはファミマに行きましょう！　そしてファミマのマルチコピー機，famimaPRINTから～

おたくコンテンツが印刷できる！

当方AdC記事，これを楽しみに，年末のお祭り に備えましょう！

明日のAdCはisskさんの，vulkanについてです．