RPG研究～RPG世界の形状及び距離の幾何学的考察 : 東京工業大学ロボット技術研究会

おはようございますまたはこんにちはまたはこんばんは。RPG王国と数学の科学の共通部分の唯一の元、カイヤンです。

7月4日に研究報告会というロ技研のイベントがありました。ロ技研での自身の活動（研究、製作、イベント参加など）を報告する場です。詳しくは多分報告記事が出ると思いますのでそちらで。

先日の研究報告会はRPG王国の初発表でした。発表者は二人、RPG王国を創立し、王国の現政権を握る学部3年のマハトとカイヤンです。

今回の私の記事では、この研究報告会で発表した内容について扱いたいと思います。

先日筆者が発表したのは

RPG世界の形状及び距離の幾何学的考察

という内容のRPG研究についてです。さて、まずRPG研究とはなんだったのか。カテゴリーRPG研究の初記事であるマハトの記事から引用すると

『RPG研究とは読んで字のごとく「RPGを研究する」ことで，市販のRPGの研究をして色々な発見することが目的です．せっかくRPG専門の研究室を作ったんだから専門的なこともやりたいですからね．』

ということです。そういうわけで私は市販のRPGの世界の形状とその上の距離について考察しました。
『「お前そんなことやってないでRPG作れよ！」とか言わないでねっ！＞＜』

新規性のカケラもない話ですが、RPGの一般的な世界、つまり長方形の周を順平行に繋げたような世界（以後単にRPG世界と称す）と、我々が住む地球は全く異なる形状をしています。地球はおよそ楕円体、もっと近似すれば球ですが、RPG世界は違います。手元のRPGでもし船なり飛空艇なり世界１周がたやすい乗り物が手に入っているデータがある方は「北へ」まっすぐ向かってみてください。

北へ～行こうランララン♪

と北へ向かうと気づいたら１周して元の位置に戻りますよね？　「地球っぽいじゃないか！」ですって？　ではさきほどとは別の位置から「北へ」向かってみてください。同じ地点は通りましたか？　地球と同じ曲面であれば北極という同じ点を通るはずですよね？　しかしRPG世界では通らないことが上の操作で容易に確かめられます。実際、地球の、長方形の形をした正確な地図は作成できないことが知られています。

では球面や楕円体面じゃないならどんな曲面がRPG世界の形状なのでしょうか。また新規性のカケラもない話ですが、長方形の繋がれ方に注目すると、ドーナツ型（トーラス）であることがわかります。長方形を丸めて辺を糊付けして円柱を作り、さらにその円柱を丸めて端を糊付けして完成です。どれくらい新規性がないかというと、ドラゴンクエスト２発売時からRPG世界はトーラス形だろうと言われてたらしいですね。先行研究でしっかり形状が述べられてますね。はい、ちゅんちゅん。

って待て待て待て待て、長方形の繋ぎ方って言いますけどあなた、繋ぐってなんですか？

あと、円柱はともかくそのあとのトーラスは引き伸ばさないと作れそうにないんですが、それで長方形の正確な地図が作れるんですか？？
Prove!

という疑問が自然に湧いてきます。はい湧いてきました。さあGoogle先生に聞きましょう。この辺のちゃんとした議論が知りたいです！！

……これがなっかなかないんですよね。トーラスである、ドーナツ型であると書いてあるところはたくさん見つかりますし、類体論を用いてほかの解釈を与えているウェッブサイトもあります。また３次元空間のトーラスとして物理的なことを議論しているところもありますが、そもそもトーラス型なのか、3次元のトーラスで距離は大丈夫なのかという議論はなかなかありませんし、特にちゃんとRPG世界がトーラス型であるという解釈に証明を与えているところは見当たりませんでした。ネットをささっと調べたくらいじゃ出てこないだけでどこかに公開されてるかもしれないし、筆者の検索能力がアレな可能性もありますが。Googlabityの高いところにありません。

ロ技研の標語：ないものは作れ

じゃあ証明を書いてやろうじゃないかと。そういうわけで今回のRPG研究は始まりました。さあまずは長方形を繋ぐとは、繋ぎを定式化できたとしてほんとうにトーラスになるのか？　距離の問題は大丈夫か？　ということを問題意識としていろいろ勉強しました。本を読んだりなんだりしたり、気づいたら数学科の多様体の講義を履修してたり。

数ヶ月ほどぽよぽよし、ついに答えを得ました。
研究報告会で用いたスライド（一部編集済み）

カイヤンの研究報告書とスライドPDFのDropboxリンク（内部向け：あくまで筆者個人のものしか入ってないのでご安心下さい）
→こちら

スライドの追記：36ページ、実3次元空間にも埋め込みは可能(なので私たちはドーナツを見られる)ですが、等長埋め込みはできません(ドーナツの内側と外側の周長は異なる)。長さを保った埋め込みができるのが4次元です。

無事直感通りの結論が数学的に導けました。しかも気持ちですがゲーム製作にあたっての応用も考えられました。やったね！
スライドはかなりざっくりしていますし、前提知識をあまり求めないように書こうとしたらかえって長くなりそうになったために、研究報告書も説明の長くなる概念（コンパクトなど）を教科書に頼っていますので、適宜集合と位相や微分幾何学の教科書を参照しながら読んでくださると幸いです。

今後の展望としては、順平行以外の繋ぎ方をいれた長方形ではどんな世界になるか（例えば片方を逆平行にすればクラインのツボ、両方を逆平行にすれば射影空間など）、上述の議論をより抽象化・厳密化することで使用範囲を広げられないか（一般の平坦な曲面の議論など）ということが考えられます。今回でもリーマン幾何学の定理を引用した箇所がありますが、本格的にやるにはリーマン幾何学からは逃げられないようですね……精進します（本研究も多様体をなんとか避けようとしたがゆえに発表が遅れたという反省があります）。さらに余裕があればRPG世界の物理法則がどうなるか（安易に魔法に逃げたくない）ということも考察対象になりうりますが、リーマン幾何学だけでなくそれを応用した物理学の知識も必要になりそうで、この先は地獄だぞって感じです。

まずないでしょうが、もしも引用される場合は、連絡などいりませんのでカイヤンの文章であることを明記して使ってやってください。感想・使用連絡を頂いた場合カイヤンは鼻血を出して喜びます。

以上です。本研究にあたって参考書の紹介や証明のアドバイスをくださった数学科の先生、先輩、友人、後輩の皆様、そしてここまで読んでくださった皆様に感謝します。数学が下手の横好きな一人のRPGファンの駄文でしたが、ありがとうございました。研究報告会後、ゲーム製作の方も久々に進んでいます。両方とも頑張ります。

（……この記事もGooglability低いなあ(・ω・`)）